当前位置：网站首页 » 观点 » 内容详情

有理函数积分权威发布_有理函数的积分总结(2024年11月精准访谈)

内容来源：网络红人排行榜所属栏目：观点更新日期：2024-11-28

有理函数积分

数学分析笔记：从基础到进阶 ### 数列极限 𐟚€ 实数系的连续性：确界原理、Dedekind分割原理、Stolz定理、收敛准则（单调有限定理、柯西收敛准则、Bolzano-Weierstrass定理）、闭区间套定理、归结原则。两个重要的极限：连续函数的定义，第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点），第二类间断点（无穷间断点或振荡间断点）。函数极限的性质 𐟓ˆ 唯一性：函数极限在自变量趋近于某个值时，极限值是唯一的。局部保号性：函数在某点的极限与函数在该点的值符号相同。局部保序性：函数在某点的极限与函数在该点的值大小关系一致。局部有界性：函数在某点的极限与函数在该点的值都存在且有限。两边夹准则：函数被两个极限相同的函数夹在中间，其极限也存在且与这两个函数相同。无穷小量和无穷大量阶的判断：闭区间上的连续函数具有有界性、最值性、零点、介值性、一致连续性。反证法是一种有效的证明方法。区分一致连续和点点连续。一元微分 𐟓 代数学基本定理：一元n次多项式在复数域上有n个解。微积分基本定理：NL公式，可导一定连续，可导等价于可微。复合函数求导（链式法则）：复合函数的导数等于内层函数和外层函数的乘积。隐函数求导：隐函数的导数可以通过隐函数定理求解。一阶微分方程不变性：微分方程的解与自变量的变化无关。微分中值定理及其应用 𐟔 费马引理（Fermat）：极值点的导数为0。罗尔定理（Rolle）：函数在区间两端相等，中间有一点导数为0。拉格朗日定理（Lagrange）：中间导数等于斜率。柯西中值定理（Cauchy）：引入了两个函数，凹凸函数，不等式（三角不等式、均值不等式、Jensen不等式、Young不等式、Holder不等式）。洛必达法则：实际上是柯西中值的推广应用。泰勒展开：Peano余项和Lagrange余项。不定积分 𐟌 换元积分法（第一类和第二类）：通过换元法求解不定积分。分步积分法：分步积分法适用于被积函数包含不同类型项的情况。有理函数积分法：有理函数的积分可以通过部分分式法进行。定积分 𐟓Š 分割、近似、求和、取极限：黎曼可积，Darboux上和等于下和（上和不增，下和不减），必要条件是函数有界。基本性质：线性性、保序性、区间可加性、积分第一中值定理。反常积分、瑕积分、二元无穷限积分：通过求Cauchy主值的方法判断积分收敛的方式（Cauchy判别法、比较判别法、A-D判别法）。 PS: 闭区间上的连续函数一定可积且有界且一致连续，闭区间上的单调函数一定可积。点火公式要记住（sin和cos的n次方在0到2上的积分，考虑n为偶和n为奇，偶的时候从1/2开始要乘2，奇的时候从1开始）。

有理函数积分技巧：拆项与三角函数处理 1. 不定积分之有理积分：线性分解法 𐟧œŸ分式：如果分母不能整理为因式之积，分子可以凑微分。如果能，则使用待定系数法进行裂项。假分式：先进行长除法，将其化为多项式与最简分式的和。不定积分之三角函数有理式（一）𐟌Š 一般方法：使用万能公式，令 t = tan(x/2)。特殊情况：关于 sinx 和 cosx 的偶函数：t = tan(x)。被积函数为 sinx 的偶次幂与 cosx 的偶次幂之积：2sinⲸ = 1 - cos2x，2cosⲸ = 1 + 2cos2x。

有理函数积分：留数法与凑微分技巧 𐟓š 有理函数积分的计算方法有两种主要途径： 1️⃣ 凑微分法：通过配系数和利用基本公式来解决问题。 2️⃣ 留数法：通过拆分函数并利用留数法快速求出待定系数。 𐟔 情形一：直接拆分或利用基本公式进行微分。例如，对于函数 2x^2 + 4x，可以直接拆开为 2x + 4x，然后利用基本公式进行积分。 𐟔 情形二：配系数后直接拆分。例如，对于函数 -2x - 3，可以配系数为 -2x - 3，然后进行拆分和积分。 𐟔 情形三：利用基本公式进行积分。例如，对于函数 x + 2x + 3，可以直接利用基本公式进行积分，得到 arctan(x) + C。 𐟔 情形四：利用留数法快速求出待定系数。例如，对于函数 x^2 + 4x，可以通过拆分和利用留数法快速求出待定系数，然后进行积分。 𐟔 情形五：对于根号数较大的情况，可以利用基本公式进行积分。例如，对于函数 x^2 + 4x，可以通过基本公式进行积分，得到 -4x + C。通过这些方法，我们可以更高效地解决有理函数的积分问题。

今天刚下政治课就赶紧去图书馆学习，五点半回到宿舍，有理函数积分学的不太顺利，心情不好，不想吃饭了，回到宿舍刚玩会手机，室友非拉着我去吃饭，我婉拒，他居然抢我手机，非让我去吃饭，在路上各种阴阳我～如果我晚点回来可能就不会这样子了。那么，明天下课我就去图书馆看书，就算玩手机也不回宿舍了，等到宿舍快锁门时再回去「落叶」「秋」「大一新生」北京

川大高分子考研心得：数学篇嘿，大家好！作为一个已经上岸的学长，我想和大家分享一下我的考研经历，特别是数学这一科。说实话，我也没想到自己能考那么多分。记得当时在十一月的时候，我经常怀疑自己能不能考上，毕竟学了一年了，压力山大。不过，咬咬牙还是坚持下来了。希望我的经验能对大家有所帮助。数学：灵活性和基础并重 𐟧我一直觉得自己数学还不错，但问题就在于不够灵活。尤其是积分、微分方程的应用、极限证明题和矩阵秩的证明题，这些地方总是容易出错。对于985高校，数学考到130分就差不多了，想考140+真的太难了。我个人觉得数学没必要报班，汤家凤、李永乐、张宇、武忠祥这四个老师的课程各有千秋，选择一个自己喜欢的就好。汤家凤的基础讲得很扎实，张宇的课程有点偏难，尤其是后期的四套卷和八套卷，真的非常折磨人。李永乐的线代讲得特别好。所以，数学是统考科目，没必要纠结非要看谁的，适合自己的就是最好的。数学复习建议 𐟓š 刚开始的时候，数学主要是过一遍网课。至于刷题，后面再说。极限这一块要深入理解，不仅仅是求个极限，极限的证明题非常考验你的数学功底。微分这一块主要是中值定理的考察，如何快速看出是考罗尔、柯西、拉格朗日还是泰勒，如何快速构造出相应的函数关系才是真正的难点。积分方面，不定积分主要是计算，要敏感快速地分辨出是考有理函数积分还是分部积分等等。定积分难度大一些，尤其是创新性的题目，个人觉得相当有难度，涉及到应用这一块往往和微分方程串在一起去考。下册的二重积分和多元函数求偏导基本上就是考察计算，完全就是送分童子。线代的难度 𐟧𙊨‡𓤺Ž线代，有些同学总觉得线代简单，我不那么认可。我觉得线代相当有难度，尤其是比较新的矩阵秩的证明题、相似对角化的题目、线性方程组的题目，往往失分很多。这一块在16、18、20这三年数学真题的难度上就有所体现。希望这些经验能对大家有所帮助，祝大家都能顺利上岸！𐟚€

大一高数听不懂？这些资料帮你轻松搞定！大一高数听不懂？别担心，直接看这些资料！𐟓š 𐟓– 高等数学上册知识点函数与极限函数定义及性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性。反函数、复合函数、函数的运算。初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数。函数的连续性与间断点：重点！函数在x0连续，lim f(x)=f(x0)。极限存在准则：夹逼准则、单调有界准则。无穷小（大）量：定义、无穷小的阶（高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小）。求极限的方法：单调有界准则、夹逼准则、极限运算准则及函数连续性、两个重要极限。导数与微分导数定义：lim(x→x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0)。左导数和右导数：f'(x0) = lim(x→x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0)。可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导。求导的方法：导数定义、基本公式、四则运算、复合函数求导（链式法则）、隐函数求导数、参数方程求导数、对数求导法。高阶导数：定义、Leibniz公式。微分中值定理与导数的应用中值定理：Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。洛必达法则：重点！ Taylor公式：不考。单调性及极值单调性判别法：若f'(x)>0，则f(x)单调增加；若f'(x)<0，则f(x)单调减少。极值及其判定定理：必要条件、第一充分条件、第二充分条件。凹凸性及其判断，拐点：判定定理、拐点定义。不等式证明利用微分中值定理。利用函数单调性。利用极值（最值）。方程根的讨论连续函数的介值定理。 Rolle定理。函数的单调性。极值、最值。凹凸性。渐近线铅直渐近线：lim f(x) = ∞，则x=a为一条铅直渐近线。水平渐近线：lim f(x) = b，则y=b为一条水平渐近线。斜渐近线：lim [f(x) - kx] / (x - x0) = b存在，则y=kx+b为一条斜渐近线。图形描绘不定积分概念和性质：原函数、不定积分、基本积分表（13个公式）。换元积分法：第一类换元法（凑微分）、第二类换元法（变量代换）。分部积分法：重点！有理函数积分：拆分、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）。定积分概念与性质：定义、性质（7条）。性质7（积分中值定理）：函数f(x)在区间[a,b]上连续，则存在c∈[a,b]，使得∫f(x)dx = f(c)(b-a)。

有理函数积分贱不贱啊贱题老子一天练一道就不行拿不下你

𐟔 掌握五种技巧，轻松搞定不定积分！ 𐟓š 不定积分是高等数学中的重要内容，掌握一些技巧可以事半功倍。以下是五种常见的不定积分技巧，帮助你轻松应对各种积分问题。 1️⃣ 第一类换元法（凑微分法）原理：通过凑微分公式，将复杂函数转化为简单函数。套路一：利用根号公式，将根号直接换元。套路二：利用三角函数公式，将复杂函数转化为弦函数。 2️⃣ 第二类换元法原理：通过引入新变量，简化被积函数的复杂性。套路一：利用根式代换，将被积函数中的无理式转化为有理式。套路二：利用三角代换，将被积函数中的三角函数转化为有理式。 3️⃣ 分部积分法原理：通过分部积分法，将复杂函数的积分转化为简单函数的积分。拓展表格积分法：适用于求解两类函数积分的分部积分法。 4️⃣ 有理函数的积分套路一：处理假分式，将其化为“多项式十真分式”。套路二：处理真分式，通过因式分解产生不同形式。套路三：分子凑分母导数，简化计算过程。 5️⃣ 分段函数的积分原理：根据分段函数的性质，分别对不同区间进行积分。例子：Jmx4了d 14+22<2 1予+Cs -2 𐟒ᠦ𓨦„事项：一个函数的不定积分中只能有一个常数项C！掌握这些技巧，你将能够更高效地解决不定积分问题。加油，数学小达人！𐟒ꀀ

大一高等数学知识点全解析，轻松掌握！ 𐟓š 高等数学对于许多同学来说是个不小的挑战，但别担心，这里为你整理了高数常考知识点，帮助你轻松应对！ 𐟔 函数与极限函数定义及性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性。反函数、复合函数、函数的运算。初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数。函数的连续性与间断点：重点掌握。闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理（重点）、介值定理及其推论。 𐟚€ 极限极限定义：数列极限和函数极限。极限存在准则：夹逼准则、单调有界准则。无穷小（大）量：定义、无穷小的阶（高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小）。求极限的方法：单调有界准则、夹逼准则、极限运算准则及函数连续性、两个重要极限（重点）、无穷小代换（x→0）（重点）。 𐟓ˆ 导数与微分导数定义：f'(x)=lim(f(x)-f(x))/x-x。几何意义：f(x)为曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线的斜率。可导与连续的关系。求导的方法：导数定义（重点）、基本公式、四则运算、复合函数求导（链式法则）（重点）、隐函数求导数（重点）、参数方程求导（重点）、对数求导法（重点）。高阶导数：定义及Leibniz公式。微分定义：Ay=f(x+Ar)-f(x)=Ar+o(Ar)，其中Ar与x无关。可微与可导的关系：可微→可导，且dy=f'(x)Ar=f(x)dx。 𐟌€ 微分中值定理与导数的应用中值定理：Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。洛必达法则（重点）。 Taylor公式（不考）。单调性及极值：单调性判别法、极值及其判定定理（必要条件、第一充分条件、第二充分条件）。凹凸性及其判断，拐点。 𐟌𑠥ŽŸ函数与不定积分原函数：在区间I上，若函数F(x)可导，且F'(x)=f(x)，则F(x)称为f(x)的一个原函数（重点）。不定积分：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分。基本积分表（P188,13个公式）（重点）。性质（线性性）。换元积分法（重点）：第一类换元法（凑微分）、第二类换元法（变量代换）。分部积分法（重点）。有理函数积分：“拆”、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）。 𐟌ˆ 定积分概念与性质：性质乙（积分中值定理）。微积分基本公式（N-L公式）（重点）：变上限积分、NL公式。换元法和分部积分（重点）：换元法、分部积分法。反常积分：无穷积分、瑕积分。体积：旋转体体积（重点）、平行截面积已知的立体。弧长：直角坐标、参数方程、极坐标。 𐟓– 微分方程概念与性质：了解微分方程的基本概念和性质。掌握常见微分方程的解法，如一阶微分方程、二阶微分方程等。了解微分方程在实际问题中的应用。

第四章题型五【有理函数的不定积分】「智博教育专升本超话」「智博教育」「智博专升本」「智博教育专升本超话」「智博高数真真姐」「爱在智博」济南ⷦ™𚥍š教育(黄台校区)智博高数真真姐的微博视频