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自然定义域前沿信息_高中数学公式大全(2024年12月实时热点)

内容来源：网络红人排行榜所属栏目：教程更新日期：2024-12-02

自然定义域

Z20联盟数学18题解析 18. (本小题满分17分）已知函数f(x)=xlnx(x>0) (1) 设函数g(x)=f(x)+f(1-x)，求函数g(x)的极值：首先，我们求出g(x)的导数： g'(x) = f'(x) + f'(-x) = 1 + (-1) = 0 这说明g(x)在定义域内是一个常数函数，因此没有极值。 (2) 若不等式f(x)≥ax+b(a,b∈R)当且仅当在区间[e,+∞)上成立（其中e为自然对数的底数），求ab的最大值：根据题目条件，我们有： f(x) = xlnx ≥ ax + b 在 [e,+∞) 上成立由于f(x)在[e,+∞)上是单调递增的，我们可以得出： a = 1 b = e - 1 因此，ab的最大值为1*(e - 1) = e - 1。

𐟓š高一数学必修一思维导图大揭秘𐟧 𐟔探索数学世界的奥秘，就从必修一的第一章开始！𐟓– 𐟒᪪元素与集合**： - 确定性的元素，互异的集合，无序的列表。 - 自然语言、列举法、描述法，轻松表示集合。 𐟔—**集合间的关系**： - 子集、真子集、交集、并集、补集，逻辑运算一网打尽。 - 充分条件、必要条件，条件判断不再迷茫。 𐟓ˆ**不等关系与不等式**： - 不等式性质、作差法、作商法，比较实数大小有妙招。 - 基本不等式、一元二次不等式，解法大揭秘。 𐟒𜪪函数的概念与性质**： - 定义域、对应关系、值域，函数三要素缺一不可。 - 观察法、配方法、分离常数法，求函数值域有奇招。 - 单调递增、单调递减，函数性质一目了然。 𐟌**三角函数**： - 角度与弧度的换算、弧长公式，任意角和弧度制轻松转换。 - 正弦函数、余弦函数、正切函数，三角函数定义全解析。 - 同角三角函数的基本关系、诱导公式，解题必备！ 𐟎‰快来一起构建数学王国，成为数学小达人吧！𐟌Ÿ

数学分析第二章：数列极限备考指南 𐟓š 数学分析一开始，就明确告诉我们，分析的研究对象是函数，而且是基于实数平台上的单值函数。接下来，它毫不拖泥带水地带读者走进分析的大本营，极限理论。什么是极限？函数的极限！注意，数列严格的定义是函数！这是一个被大家轻易忽略的事实！尽管，你通俗地把数列理解成一列数也没有什么大的问题！数学理论所有的出发点都是定义。上面是数列的严格定义，它是定义域为正自然数上的一个对应，有时候也称为一个离散的函数。数列被定义好后，就迎来了整个第二章最核心的一个定义：数列极限！即，对任意给定一个数，总能够找到一个相应的N，使得充分朝后的那些点，与定数a之间的距离小于预先给定的那个数！毫无波澜简单朴素的四句话，却沉淀了好几个世纪，以至于像牛顿老师这样的天才都无法凝练出！计算机只识别0和1，却能模拟出万物！看似简单的东西，要深度理解并运用，并不是一件很容易的事！马克思告诉我们，在执行中理解！书上第一小节的每个例子都非常经典，你需要从证明的过程中去体会，如何找到相应的N，除了教材上找到的这些N，你还能不能找到别的？又比如例4和例5，都用到了伯努利不等式，这个不等式怎么来的？再比如，例5最后一句话你非常熟悉“the proof is left to the readers”，你敢尝试着把这个雷同的过程写出来吗？你不敢，大表哥是那么了解你！在第二小节的例二中，也出现和上节例4、5中同样的一个形式，出现了（1+X) n次方的形式，然而他们放缩的手法却完全不同，这到底是为什么？数学学习，就是要抓住这样的细节，而对付考研，我们更要小心谨慎！本章的难点是第三节，数列极限存在的条件，其中单调有界定理是一个充分条件，而柯西收敛准则是一个充要条件！数学理论中，充要条件更“好”，更重要一些！所以请同学们，务必理解并掌握柯西收敛准则，而且柯西的思想，会延续整个分析！有个例题应用单调有界定理，证明的过程中用到了二项式公式，形式稍微复杂一点，如下

已知f(x)的定义域为[29,23],求有关函数的定义域主要内容本题已知f(x)的定义域为[29,23],求有关函数的定义域： (1)f(e5x)；(2)f(38lnx)；(3)f(arctan5x)；(4)f(6x3-24)。主要步骤： ※.f(e5x)的定义域根据题意，f(x)的定义域为[29,23]，则： 29≤e5x≤23，两边同时取自然对数有， ln29≤lne5x≤ln23，即， ln29≤5x≤ln23, (1/5)ln29≤x≤(1/5)ln23, 故此时所求的函数f(e5x)的定义域为: [(1/5)ln29,(1/5)ln23]。 ※.f(38lnx)的定义域根据题意，有： 29≤38lnx≤23，不等式两边变形， 29/38≤lnx≤(23/38)，不等式两边同时取指数， e^(29/38)≤x≤e^(23/38) 则此时函数f(38lnx)的定义域为：[e^(29/38)，e^(23/38)]。 ※. f(arctan5x)的定义域根据题意，f(x)的定义域为[29, 23]，则： 29≤arctan5x≤23，由于反正切函数为增函数，两边同时取正切，有： tan29≤5x≤tan23，进一步变形有： (1/5)tan29≤x≤(1/5)tan23，则此时所求函数的定义域为：[(1/5)tan29,(1/5)tan23]。 ※. f(6x3-24)的定义域根据题意，所有函数定义域计算如下： 29≤6x3-24≤23,不等式变形为： 53≤6x3≤47,进一步变形有： 53/6≤x3≤47/6, 由于x3是增函数，所以有： 3√(53/6)≤x≤3√(47/6) ,所以函数f(6x3-24)的定义域为： [3√(53/6),3√(47/6)]。

c语言简易计算器 𐟌Ÿ 大家好，今天为大家带来一个好消息！我们之前讨论的 C++ Qt 科学计算器第一版（CCalculator v1.0）已经完成制作并开源啦！𐟎‰ 𐟓𘠩斥…ˆ，让我们一起来看看这款计算器的运行截图吧！从截图中，你可以看到这款计算器支持多种功能，包括但不限于：基本算术运算（加、减、乘、除、乘方、连乘、奇（偶）连乘、取余）三角函数（正余弦和反正余弦、正切和反正切）对数函数（自然对数和普通对数）混合运算（带括号的复杂运算） 𐟔 此外，这款计算器还具备以下特点：括号和符号错误自检功能，确保运算的准确性异常警告功能，如超出定义域范围的运算等运算记录保存和查看功能，记录所有成功运算的操作支持通过 Ctrl+V 在主窗口粘贴算式进行运算 𐟓堦œ€后，我们为大家封装好了 Release 版本，提供了该软件的下载安装包。想要获取项目地址的朋友，记得点赞、关注和收藏哦！𐟓Œ 𐟒ᠨ🙦쾥𜀦𚐧瑥�™褸仅功能强大，而且非常适合科学研究和日常计算需求。快来试试吧！

天津市第五十五中学高二数学期末考试卷 ### 一、单选题 1. 已知全集U={0,1,2,3,4,5}，集合M={0,1,2}，集合NM={3,4}，则C(MN)=() A. {5} B. {1,2} C. {3,4} D. {1,2,3,4} 已知a,b∈R，则“(a-b)0”是“a>b”的() A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件若该型号汽车多使用一年，则其平均油耗一定增加6.25L/100km，预计该型号汽车使用到第10年平均油耗会超9L/100km，则该型号汽车多使用一年，平均油耗增加的L/100km为() A. 6.25 B. 9 C. 6.25或9 D. 不确定二、填空题命题“3x∈R，x+1<0”的否定是() 的展开式中的系数为20，则的值为() 已知函数y=f(x)的定义域为[-2,2]，则函数y=f(2x+1)的定义域为() 用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有()个。已知正实数a,b,c,a+6=3，则ab的最大值为()，的最小值为()。已知函数f(x)=ax+x0恒成立，求实数a的取值范围;(3)当b=2a时，f(x)=0的两根一个比1大，一个比1小，求实数a的取值范围。设一盘中装有6个粽子，其中蛋黄粽4个，豆沙粽2个，这些粽子的外观完全相同。从中任意选取3个，设3个粽子中蛋黄粽的个数为x，求x的分布列和期望。若从盘中有放回的抽样取2次，每次取1个粽子，在至少取得一个豆沙粽的情况下，取得两个豆沙粽的概率为多少? 已知函数f(x)=x+axⲫx+c在点P(1,2)处的切线斜率为4，且在x=-1处取得极值。求函数f(x)的解析式。求函数f(x)的单调区间。若函数g(x)=f(x)+m有三个零点，求m的取值范围。已知函数f(x)=-xⲭax-2，a为带数。若a>0，解关于x的不等式f(x)<1。若不等式f(x)1恒成立，求实数a的取值范围。已知函数f(x)=cⲭaxg(x)=ln(x+2)-𜌥…𖤸펱为自然对数的底数。讨论函数f(x)单调性。证明:f(x)>8(x)恒成立。证明:ln2+(n)(n=)+(n)

高等数学笔记：函数、极限、无穷小、连续 𐟓š 常用基础知识数集：常用的数集包括自然数集、整数集、有理数集和实数集。平方差公式、立方差公式、立方和公式：这些公式在计算和证明中非常有用。完全平方公式、完全立方公式：这些公式可以帮助我们更简单地处理平方和立方的问题。十字相乘法、求根公式法：这些方法在解一元二次方程时非常实用。一元二次不等式、绝对值不等式：这些不等式在解决各种数学问题中都有应用。 𐟔 函数定义域、值域、对应法则：这是理解函数的基础。六大类基本初等函数：包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和复数函数。二倍角公式、降幂公式：这些公式可以简化三角函数的计算。常见的三角函数值：如正弦、余弦、正切等。有界性、单调性、奇偶性、周期性：这些性质可以帮助我们更好地理解函数的性质。求反函数、复合函数：这些操作在函数变换中非常常见。 𐟓ˆ 数列极限等差数列、等比数列：这些数列是数列极限的基础。数列极限的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。无穷比无穷型极限的计算：这种极限的计算方法非常重要。无限项数列极限的计算：包括收敛和发散的情况。夹逼准则：这个准则在证明数列极限时非常有用。 𐟓‰ 函数极限函数极限的四则运算法则：包括加法、减法、乘法和除法。需要计算左右极限的情况：这在实际计算中非常常见。零比零型极限的计算：这种极限的计算方法非常重要。无穷减无穷型极限的计算：这种极限的计算方法也比较常见。两个重要极限：包括洛必达法则和夹逼准则。 1的无穷次方型极限的计算：这种极限的计算方法也比较重要。 𐟌€ 无穷小无穷小性质：无穷小的性质可以帮助我们更好地理解极限的概念。两个无穷小阶的比较：包括高阶无穷小和低阶无穷小的比较。常见的等价无穷小代换：这些代换在计算中非常实用。极限的反问题：通过反问题可以更好地理解极限的概念。 𐟖𜯸 连续左连续与右连续：这是理解连续性的基础。函数在一点处连续的充要条件：包括左连续和右连续的条件。连续函数的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。复合函数的连续性：复合函数的连续性是函数连续性的重要部分。函数间断点的分类：包括可去间断点和跳跃间断点等。闭区间上连续函数的性质：这些性质可以帮助我们更好地理解闭区间上连续函数的性质。初等函数的连续性：初等函数的连续性是函数连续性的基础。

广东春季高考数学模拟卷，轻松搞定！ ### 解答惠 19. 题目：在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且满足方程sin'B+sin'C-sin'A=J3sinBsinC。求角A的大小；若a=1, B=会，求ABC的面积。解答：根据题目给出的方程，我们可以得到： sin'B + sin'C - sin'A = J3sinBsinC 利用正弦定理，我们可以将边长转化为角度： a/sinA = b/sinB = c/sinC 所以，我们可以将方程转化为： (b/sinB)^2 + (c/sinC)^2 - (a/sinA)^2 = J3bc 进一步化简，得到： cos^2A = 1 - J3sin^2Bsin^2C / (sin^2B + sin^2C) 因为cos^2A + sin^2A = 1，所以： sin^2A = 1 - cos^2A = 1 - (1 - J3sin^2Bsin^2C / (sin^2B + sin^2C)) 最后，解得： sinA = sqrt(1 - (1 - J3sin^2Bsin^2C / (sin^2B + sin^2C))) 对于第二问，我们已知a=1, B=会，所以可以利用已知条件求出面积：面积 = (1/2) * a * b * sinC 代入已知条件，得到面积的表达式。 20. 题目：某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛的得分情况如下：甲：15, 17, 14, 23, 22, 24, 32 乙：12, 13, 11, 23, 27, 31, 30 分别计算甲、乙两名运动员得分的平均数；分别计算甲、乙两名运动员得分的方差，并判断哪位运动员的成绩更稳定。解答：首先，计算甲、乙两名运动员得分的平均数：甲的平均数 = (15 + 17 + 14 + 23 + 22 + 24 + 32) / 7 乙的平均数 = (12 + 13 + 11 + 23 + 27 + 31 + 30) / 7 然后，计算甲、乙两名运动员得分的方差：甲的方差 = [(15 - 平均数)^2 + (17 - 平均数)^2 + ... + (32 - 平均数)^2] / 7 乙的方差 = [(12 - 平均数)^2 + (13 - 平均数)^2 + ... + (30 - 平均数)^2] / 7 最后，比较甲、乙两名运动员的方差，方差较小的运动员成绩更稳定。 21. 题目：为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长10%。以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第x年该企业投入的研发资金数与x的函数关系式以及函数的定义域；该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？解答：首先，计算第1年和第2年的研发资金数：第1年：300万元第2年：300万元 * (1 + 10%) = 330万元然后，找出第x年研发资金数的函数关系式：第x年：300万元 * (1 + 10%)^x 定义域为x >= 1的自然数。最后，找出每年投入的研发资金数超过600万元的年份： 600万元 < 300万元 * (1 + 10%)^x 解不等式，得到x的值。 22. 题目：如图所示，三棱锥P-ABC中，P平面ABC，AB平面AC，且E,F分别为BC，PC的中点。求证：EF平面PAB；已知AB=AC-4，PA=6，求三棱锥F-AEC的体积。解答：首先，证明EF平行于平面PAB：由于E, F分别为BC，PC的中点，所以EF平行于BP，且EF在平面PAB上，因此EF平行于平面PAB。然后，求三棱锥F-AEC的体积：已知AB=AC-4，PA=6，利用海伦公式计算三角形ABC的面积：面积 = sqrt(s(s-AB)(s-AC)(s-PA)) 其中，s为半周长，即(AB + AC + PA) / 2。最后，利用三棱锥的体积公式计算体积：体积 = (1/3) * 面积 * EF 其中，EF为EF的长度。

理科生表白秘籍𐟒 1. 你就像我生命中的自然常数e，无论经历多少次的求导，我对你的爱依旧如初。你的心是X轴，而我是围绕你转动的正弦函数，有收有放，永不停歇。我对你的思念就像一个循环小数，一遍又一遍，永无止境。我每天带给你的惊喜和希望，就像无穷集合中的每个元素，独一无二。我们就像是抛物线，你是焦点，我是准线，你的思念有多深，我的爱就有多真。你的生活是我的定义域，你的思想是我的对应法则，你的微笑是我存在的充要条件。零向量有很多方向，但只有一个长度，就像我有很多朋友，但只有一个你，值得我去守护。我将对你的爱写进每一个微分里，然后积起来，直到无法收敛。你是我的线性回归方程，没有你，我永远只是一些迷途的散点。万有引力定律告诉我们，任何物体之间都有相互吸引力，包括我和你。我对你的爱就像实数，包含你的有理，也包含你的无理。你和我就像抗原和抗体，明知会一起沉沦，还是忍不住靠近。宇宙再大也不要觉得孤单，你和我如同量子纠缠一般，一直都在。你可以做我的数学公式吗？这样我就可以推导（倒）你了。我喜欢你，就像cos的平方加sin的平方，始终如一。

高中数学二级结论总结，助你轻松拿高分！ 𐟓š 第1章集合、命题、不等式、复数有限集合子集个数：2个，真子集个数：2-1个集合重要结论： AnB=A AUB=A A→BACB AB→A=B 同时满足求交集，分类讨论求并集集合元素个数公式：n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AnB) 常见的数集：Z（整数集），R（实数集），Q（有理数集），N（自然数集），C（复数集）均值不等式：若a,b>0，则a+b≥2√ab；若a,b<0，则a+b≤-2√ab 均值不等式变形式：a+b≥2(ab>0)；a+b≤2(ab<0) 积定和最小：若ab=p(p>0)，则a+b≥2√ab=2vp 和定积最大：若a+b=k，则ab≤(a+b)ⲯ4=kⲯ4，当且仅当a=b时取等号基本不等式：aⲫbⲢ‰岡b 一元二次不等式的解法：大于取两边，小于取中间含参数一元二次不等式讨论步骤：二次项系数判别式两根x₁,x₂大小比较 c₁,c₂与定义域端点值作比较（常用韦达定理）一元二次不等式恒成立：若a<0，则xⲫbx+c<0恒成立；若a>0，则xⲫbx+c>0恒成立任意性问题：(1)E,a>f(x)→a>f(x)mx；(2)VEI,a≤f(x)→a≤f(x) 存在性问题：(1)3,a>f(x)→a>f(x)；(2)3,a>f(x)→a>f(x)n 不等式相同性：任意cD，证明：f(x)>g(x)→h(x)=f(x)-g(x)>0；h(x)>0；存在cD，证明：f(x)≤g(x)→h(x)=f()-g(x)≤0；h(x)≤0 不等式相异性：任意D，证明 f()<(),f()<()；存在ED，证明：f()>g(x)→ED,f()>g(x) 距离型目标函数：d=(x-a)+(y-b)可行域内的点(c,)到定点(a,b)的距离线性型目标函数：z=ac+by过可行域内的点(x,y)且与x轴、y轴的截距为常数的直线 𐟓š 第2章函数几个近似值：vⲾ1.414，v⳾1.732，v⁵~2.236，lg3~1.442，e~2.718，ln3~1.0986，ln2~0.693 指数公式：a^n=a（n为偶数），a^n=√a（n为奇数）对数公式：logₐN=logₔN；logₐM=logₔM；loga(MN)=logₔM+logₔN；logₔMⲽ2logₔM；logₔM^n=nlogₔM；logₔa^n=n；logₔa=1；logₔ1=0；logₔl=0；logₔb=lgb；logₔb=lgb；logₔb=lgb；logₔb=lgb；logₔb=lgb；logₔb=lgb；logₔb=lgb；logₔb=lgb；logₔb=lgb；logₔb=lgb；logₔb=lgb；logₔb=lgb；logₔb=lgb；logₔb=lgb；logₔb=lgb；log�

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