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一线三等角证明过程揭秘_一线三等角的归纳(2024年11月焦点)

内容来源：网络红人排行榜所属栏目：导读更新日期：2024-11-27

一线三等角证明过程

初中数学模型：一线三等角技巧详解 𐟎𘀧𚿤𘉧퉨璦补ž‹介绍一线三等角模型是初中数学中的一种重要模型。简单来说，当两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角相等时，这三个相等的角就落在同一直线上，因此得名“一线三等角”。 𐟓Š 类型一：一线三直角模型如图所示，若Z1、Z2、Z3都为直角，则有AACPnABPD。证明过程可以通过三角形相似或全等来推导。 𐟓Š 类型二：一线三锐角与一线三钝角模型这两种情况下的证明方法与一线三直角类似。例如，若Z1、Z2、Z3都为锐角，则有AACPnABPD。证明可以通过三角形相似或全等来实现。 𐟓Š 解题关键构造相似或全等三角形是解决这类问题的关键。通过构造辅助线或利用已知条件，可以轻松找到三角形之间的相似或全等关系。 𐟓 例题精讲考点一：一线三等角直角模型例如，在四边形ABCD中，LABC=ZACD=90Ⱟ𜌁C=CD,BC=4cm,则△BCD的面积为多少？变式训练： 1. 在正方形ABCD和DEFG中，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，求ACDE的面积。 2. 一块含45Ⱗš„三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC=12，则AB的长为多少？考点二：一线三等角锐角或钝角模型例如，已知AABC和AADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9, BD=3,则CF等于多少？变式训练： 1. 在AABC中，AB=AC,AB>BC,点D在边BC上，CD=3BD,点E、F在线段AD上，Z1=Z2=BAC.若AABC的面积为12,，则AACF与ABDE的面积之和为多少？ 2. 在等边AABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D,连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是多少？ 3. 在正方形ABCD中，E是边BC的中点，F是CD上一点，已知AEF=90Ⱓ€‚求证：AE⊥DF。 𐟓 实战演练 1. 如图，ACB=90Ⱟ𜌁C=BC，ADLCE，BE⊥CE,垂足分别是点D、E,AD=7cm，BE=3cm，则DE的长是多少？ 2. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=V5，E为CD边上一点，将ABCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置,连接AF,若tanLBAF= ,则CE等于多少？ 3. 如图，已知41lzll3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角AABC的三个顶点分别在这三条平行直线上,则sina的值是多少？ 4. 如图，在AABC中，C=90Ⱟ𜌚B=30Ⱟ𜌧‚𙄣€E、F分别为边AC、AB、CB上的点，且ADEF为等边三角形。求的值。 5. 如图，在等边三角形ABC中，AB=4，P是边AB上一点，BP= ，D是边BC上一点（点D不与端点重合），作ZPDQ=60Ⱟ𜌄Q交边AC于点Q.若CQ=a，满足条件的点D有且只有一个，则a的值是多少？

相似三角形证明技巧全解析！相似三角形是初中数学中的重要知识点，掌握其证明方法对于提高数学成绩至关重要。以下是相似三角形的综合知识讲解，帮助你更好地理解和掌握。 𐟓– 与平行线有关的相似利用平行线构造的相似主要有两个基本模型：“A字型和“8字型。当比例线段重叠于一线时，可以从这两个方面入手解题。 𐟓 与角分线有关的相似角平分线类的相似模型如下：方法点拨：角平分线类得相似问题基本就这样的两种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学生在学这部分知识时，不管是平时测验和期中、期末考试，只要涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基本都可以解决。 𐟓˜ 与射影定理有关的相似射影定理常见及扩展模型：左图有：AB=BDⷂC;右图有:AB=BD.BC,ADⲽBD.DC,AC=DC.BC.在解题中遇到类似形状时，可以进行相应的解法。 𐟔„ 一线三等角模型与相似一线三等角模型是以等腰三角形（等腰梯形）或等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别于等腰三角形的两边相交，如下图所示。总结出三等角模型的基本图形是： 𐟤𘠦—‹转与相似手拉手模型相似：条件：CDIAB，将AOCD旋转至右图位置。结论：右图AOCDAOABAOCAAOBD且延长AC交BD与点E必有LBEC=LBOA.手拉手相似（特殊情况）：当AOB=90时，除AOCDAOABAOCAAOBD之外，还会隐藏--=uLOD,满足BDLAG连结ADBG则必有BDODOBBAD'+BC"=AB"+CD', SABCD=AC㗂D（对角线互相垂直四边形）。 𐟓 解题方法技巧可以通过逆推的方法构造相似三角形。在证明两个三角形相似时，常常会出现证两次相似，而第一次相似常由两角相等证的。第二次相似由第一次相似所得的比例线段进行适当的变化再加上夹角相等来证明。在具体证明过程中，常常要作等线段代换，等比代换或等积代换，以促使问题的转化。 𐟔„ 各个模型之间的转化旋转180Ⱓ€平行型、翻折180Ⱓ€特殊双垂直等模型之间的转化。 ⚠️ 易错点辨析相似的定义：只要求形状相同，与大小无关。相似比：是一个值，还需要确定顺序。注意相似三角形的字母对应顺序。通过以上知识点和技巧的讲解，希望能帮助你更好地掌握相似三角形的证明方法，提高数学成绩！

2023年厦门双十八上数学月考简析刚刚结束的厦门双十八上第二次月考，家长们纷纷要求看看试卷和答案，那我就来给大家简单分析一下吧~ 第7题：经典对比系数题这道题真的是经典中的经典，对比系数的方法用得淋漓尽致。平时多总结这种题型，考试时就能轻松应对。第8题：数形结合的面积题这道题需要把边写进去，然后求面积。完全平方数形结合的应用，厦门的试卷总是喜欢出这种8选8填的题目，真是让人又爱又恨。第16题：最短路径模型这道题是经典的最短路径模型，线-线最大值类型。平时不总结，考试时想写出来基本是不可能的。第20题：一线三等角这道题又是一线三等角的应用，总结过多次了，点击链接：中考数学【模型思想】：一线三等角第21题：共线与尺规作图这道题考的是共线和尺规作图，非常符合中考的需求。第22题：完全平方公式这道题是经典的应用题，完全平方公式买二送二的应用。第23题：等腰三角形模型这道题是两个等腰三角形的手拉手模型，包括平分角。证明不成立，很多学生估计要证懵了，所以平时还是要多总结反思。第24题：几何导角这道题需要把所有角表示出来，线与线与线的关系，截长补短（本题需要利用30ⰥＨ𞹥Ž再截长补短）。第25题：位数问题这道题是初一常考的位数问题，总结一下：整份试卷对于平时不积累不思考的学生来说是个噩梦，因为很多类型如果全当新题做，那就需要费老劲了。数学想进步，错题总结与反思不可少！加油，骚年们！𐟒ꀀ

𐟓š初二上册数学全等三角形专题𐟓– 𐟔探索初二上册数学中的全等三角形，我们一起来解决一些有趣的数学问题吧！𐟒ꊊ𐟓Œ首先，我们来看看如何判定三角形全等。有几种基本思路，比如“边边边”SSS，“边角边”SAS，“角边角”ASA，“角角边”AAS和“直角边斜边”HL。这些判定方法能帮助我们解决很多数学问题哦！𐟧 𐟓接下来，我们通过一些实例来加深理解。比如，在AABC和ADBE两个等腰直角三角形中，如果我们知道一边对应相等，就可以利用全等三角形的判定方法来证明它们的全等性。是不是很有趣呢？✨ 𐟒᦭䥤–，还有一些特殊的方法，比如倍长中线法和一线三等角法，它们在解决某些问题时能起到事半功倍的效果。当然，这些方法也需要我们熟练掌握和运用。𐟒ꊊ𐟓š最后，我们还可以通过做一些练习题来巩固所学知识。比如，我们可以尝试证明一些三角形的全等性，或者求解一些与全等三角形相关的问题。通过这些练习，我们可以更好地掌握全等三角形的知识点。𐟓 总之，初二上册数学中的全等三角形是一个非常重要的知识点。通过学习和实践，我们可以更好地掌握数学中的奥秘和乐趣！𐟌Ÿ

初一下册数学几何学习：关键步骤与模型记忆 𐟑袀𐟏륐„位家长是否注意到，初一下册的数学教材，无论是人教版还是北师大版，都开始引入几何的学习。几何题目中，证明题占据了很大一部分，这让一些数学成绩中等的学生感到压力山大。那么，初一下册是否需要大量练习几何题目呢？ 𐟔𔥅𖥮ž，这个时候孩子们最关键的不是大量做题，而是养成良好的学习习惯和规矩。以下是一些重要的步骤和注意事项： ✅首先，从平行线开始，孩子需要能够解释每一个步骤和过程的定理和依据。 𐟔𘨃𝥤Ÿ解释说明，意味着你理解了这道题的逻辑和原理。如果解释不出来，说明你没有真正理解题目。 𐟔𘨿™样做不仅能解决定理记忆的问题，还能让你的解题思路更加清晰，每个步骤都有逻辑依据。 𐟔𘦭䥤–，还能避免跳步的问题，这是很多孩子在考试中失分的原因。 ✅其次，证明题需要有固定的书写格式。 𐟔𘥦‚果孩子有左右书写的习惯，需要尽快改正。因为在中考或平时的大考中，阅卷老师会竖着往下看，横着写会让阅卷老师分不清步骤。 𐟔𘥛 此，一定要竖着写，一个“因为”，一个“所以”，条理清晰，规整有序。 ✅最后，初一下册有很多几何模型需要孩子记忆。 𐟔𘤾‹如，平行线部分的猪蹄模型、铅笔头模型及其变种，三角形内角和部分的燕尾模型、折角模型等。 𐟔𘨿™些基本模型必须牢记在心，才能在做题时及时应用。 𐟔𘨀师为大家整理了初中几何的48个基础模型，可以帮助大家节省时间。在使用这些模型时，一定要理解其背后的原理，而不是单纯记忆结论。 𐟔𘥈𐤺†全等部分，手拉手、一线三等角、三垂直等基本模型也非常重要。如果你能在初一记住这些模型，初二的学习会变得更加轻松。 𐟔𘦀𛤹‹，初一下册的几何学习，关键在于养成良好的学习习惯和规矩，掌握基本模型，理解其背后的原理。这样才能在未来的学习中游刃有余。

初二数学上册重点难点题型解析 𐟓š 八年级上册数学，特别是全等三角形的辅助线，是考试中的常见题型。以下是一些经典的辅助线方法和例题，帮助你更好地掌握这些知识点。辅助线方法一：“倍长中线法”或“类中线法” 𐟓Œ 例1：已知△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。 𐟓Œ 例2：在△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEIDF，D是中点，比较BE+CF与EF的大小。 𐟓Œ 例3：在△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，证明AD平分BAE。 𐟓Œ 例4：已知CE,CB分别是△AABC,△ADC的中线，且AB=AC,ACB=ZABC，证明CD=2CE。 𐟓Œ 例5：在正方形ABCD中，E是BC的中点，F在CD上，ZFAE=ZBAE，证明AF=BC+FC。 𐟓Œ 例6：D是AB的中点，ZACB=90Ⱟ𜌨˜Ž2CD=AB。辅助线方法二：“截长补短” 𐟓Œ 例1：已知AB/CD，CE,BE分别平分BCD和CBA，E在AD上，证明BC=AB+CD。 𐟓Œ 例2：AABC是等边三角形，BDC=120Ⱟ𜌨˜ŽAD=BD+CD。 𐟓Œ 例3：在四边形ABCD中，AB=BC，ABC=60Ⱟ𜌐为四边形ABCD的对角线BD上一点，且APD=120Ⱟ𜌨˜ŽPA+PD+PC=BD。 𐟓Œ 例4：在AABC中，BAC=60Ⱟ𜌃=40Ⱟ𜌁P平分ZBAC交BC于P,BQ平分ABC交AC于Q,证明AB+BP=BQ+AQ。 𐟓Œ 例5：在AABC中，LABC=60Ⱟ𜌁D，CE分别为LBAC，LACB的平分线，证明AC=AE+CD。 𐟓Œ 例6：在AABC中，AB=AC,D是△ABC外一点，且ZABD=60Ⱟ𜌚ACD=60Ⱟ𜌨˜ŽBD+DC=AB。 𐟓Œ 例7：在AABC中，AB=AC,D为AABC外一点，ABD=60Ⱟ𜌁DB=90Ⱟ𜌨˜ŽAB=BD+DC。辅助线方法三：“一线三等角”或“K字型” 𐟓Œ 例1：在RtAABC中，ZBAC=90Ⱟ𜌁B=AC，D是BC边上一点，ZADE=45Ⱟ𜌁D=DE，证明BD=EC。 𐟓Œ 例2：在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EFLED，证明AE平分ZBAD。 𐟓Œ 例3：两个全等的含30Ⱟ𜌶0Ⱘ璧š„三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC，判断AEMC的形状。 𐟓Œ 例4：在AABC中，ACB=90Ⱟ𜌁C=BC，直线MN经过点C，且ADIMN于点D，BEIMN于点E，证明DE=AD+BE。 𐟓Œ 例5：当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，证明DE=AD-BE。 𐟓Œ 例6：当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，DE，AD，BE有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加以证明。辅助线方法四：关于角平分线的辅助线 𐟓Œ 例1：在AABC中，AB>AC，AD是BAC的平分线，P是AD上任意一点，证明AB-AC>PB-PC。 𐟓Œ 例2：在AABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由。辅助线方法五：“角含半角”和“旋转” 𐟓Œ 例1：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，EAF=45Ⱟ𜌨˜ŽEF=BE+DF。 𐟓Œ 例2：E、F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC、CD上的点，若AECF的周长是2，求EAF的度数。 𐟓Œ 例3：在四边形ABCD中，AB=BC，ZA=C-90Ⱟ𜌂=135Ⱟ𜌋、N分别是AB、BC上的点，若ABKN的周长是AB的2倍，求KDN的度数。辅助线方法六:“手拉手”模型 𐟓Œ 例1：在直线ABC的同一侧作两个等边三角形AABD和ABCE，连接AE与CD，证明△ABE丝ADBC，AE=DC，求线段AE和线段DC所央ZAFD的度数。 𐟓Œ 变式练习：在例1的基础上，将ABEC绕点B逆时针旋转一定角度，连接AE，CD，证明AE=DC，求线段AE所在直线和线段DC所在直线之间的央角。 𐟓Œ 例2：如图，AACB和ADCE均为等腰直角三角形，且LACB=ZDCE=90Ⱟ𜌨🞦Ž偄,BE，判断线段AD与线段BE之间的关系，请说明理由。通过这些经典的辅助线方法和例题，希望能帮助你更好地掌握八年级上册数学的重点和难点，取得更好的成绩！𐟓–✨

𐟔 一线三等角模型：全等三角形的秘密 𐟔 一线三等角模型是几何学中的一种重要模式，它指的是三个相等的角，其顶点位于同一直线上。这种模型可以分为三种类型： 1️⃣ 三等角是锐角：这种情况下，三个相等的角都是锐角。 2️⃣ 三等角是直角：即三个相等的角都是直角，也称为三垂直模型。 3️⃣ 三等角是钝角：这种情况下，三个相等的角都是钝角。 𐟓œ 证明一线三等角全等的方法主要有两种：AAS和ASA。这两种方法都是基于角的对应关系和边长的相等性来证明三角形全等的。 𐟛 ️ 一线三等角模型在几何证明中有多种应用，例如导角证全等和线段和差的证明。它可以帮助我们更有效地解决各种几何问题。 𐟑€ 通过观察和推理，我们可以发现一线三等角模型在实际问题中的广泛应用，从而更好地理解和掌握几何学的奥秘。

中考数学模型：折叠正方形与半角模型 𐟓š 本书简介这本书适用于北师大版和人教版教材，主要针对初二、初三的学生。它涵盖了轴对称图形、三角形、四边形、圆以及图形的变换等重要几何知识点。 𐟓– 模型教学法本书采用模型教学法，将常见的数学模型进行归类整理。模型包括：将军饮马、等边等角模型、等边互补模型、中点模型、手拉手模型、脚拉脚模型、半角模型、一线三等角模型、单倍角模型、胡不归模型、阿氏圆模型、主从联动模型、隐圆模型、费马点模型、婆罗摩笈多模型以及12345模型。 𐟓ˆ 进步性通过将常见题型用归类的方法进行模型式整理，学生可以更好地理解几何图形变式的来龙去脉。随着教学内容的不断更新，以及中考数学考点的不断演化，如主从联动（瓜豆原理）、胡不归、阿氏圆、隐圆等数学几何模型逐渐成为热门考点。 𐟓 从模型背景开始《模法几何》从“模型背景”开始讲起，分析题干特点，让学生能够结合已知条件对应到相应的模型，理解模型原理。解析过程详细，按步作图分析求解；类型总结全面，由易入难，更方便学生理解；例题变式题量丰富，让学生能够把题练透。

全等三角形模型大揭秘，助力中考冲刺！想要在几何题目中游刃有余？掌握全等三角形模型是关键！𐟔𐟓š 𐟌Ÿ 掌握这些模型，不仅能缩短做题时间，还能大幅提高正确率，让你在考试中信心倍增！ 𐟔堧𛏥…𘥅觭‰三角形模型：与角平分线结合模型与角平分线+垂线模型与飞镖模型结合一线三等角型手拉手模型半角模型 𐟔堥𘸨€ƒ全等三角形模型： “一线三等角”全等（K字型全等） “半角模型”全等（旋转产生全等） “手拉手模型”全等（共顶点、产生旋转） “反向手拉手模型”全等（左手拉右手型）全等中常用的辅助线（倍长中线、作平行、轴对称全等） 𐟒ꠥ�𛥨‡𔧔诼Œ加强练习，必胜！ 𐟚€ 想要在几何领域成为佼佼者？现在就开始你的全等三角形模型学习之旅吧！𐟌ˆ𐟓š

一线三垂直模型的口诀 𐟔 重难点全等三角形中的“一线三等角K字模型”，重点学习三垂直模型，考试常考！ 𐟓Œ 【题型一】：同侧一线三等角（一条线上三等角，一组边对应相等） 𐟓Œ 【题型二】：异侧一线三等角（一条线上三等角，一组边对应相等） 𐟔 【特征】 𐟓Œ 同侧直角一线三等角：CP=PD，证明APC≌ADP。 𐟓Œ 异侧一线三等角：点P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，证明APC≌ADP。 𐟔 【模型证明】（必须掌握！）以同侧直角一线三等角为例：已知CP=PD，证明APC≌ADP。因为∠APC+∠BPD=90Ⱟ𜌢ˆ APB+∠APB=90Ⱟ𜌦‰€以∠APB=∠APB。由CP=PD，得出APC≌ADP。 𐟔 例题解析：在△ABC中，A=ZB=2CD=90Ⱟ𜌃P=PD，证明APC≌ADP。连接OD，PO=DP=DP=DPO=60Ⱟ𜌧퉨𞹢–𓁂C中，AC=BC=9，所以AP=6。 𐟔 针对训：在四边形ABCD中，LABC=LACD=90Ⱟ𜌁C=BC，BE=3cm，求DE的长。过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，DH=3cm，所以DE的长为3.5cm。 𐟔 专题：线段与角系列、三角形全等系列、相似三角形系列、圆系列等。详细内容请参考相关专题学习资料。

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