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直线与圆的方程联立怎么解下载_椭圆方程与直线方程联立万能公式(2024年12月测评)

内容来源：网络红人排行榜所属栏目：新闻更新日期：2024-12-03

直线与圆的方程联立怎么解

高中数学圆的方程知识点全解析 𐟎“ 圆的方程与性质圆的方程形式：xⲠ+ yⲠ+ Dx + Ey + F = 0 当DⲠ+ EⲠ- 4F > 0时，方程表示一个圆。圆心坐标：( -D/2, -E/2) 半径公式：r = sqrt(DⲠ+ EⲠ- 4F) / 2 𐟔 圆的性质圆心在一维直线上：当a = b时，方程为x + y = rⲯ𜌨ᨧ交𛥥ŽŸ点为圆心的圆。圆的对称性：圆关于其直径对称。 𐟓 直线与圆的位置关系外离：两圆没有公共点。内切：两圆只有一个公共点。相交：两圆有两个公共点。相切：两圆只有一个公共点，且该点为切点。 𐟔— 圆的方程推导通过直线方程与圆的方程联立，可以求出圆的方程。例如，已知直线方程y = mx + b，与圆方程xⲠ+ yⲠ= rⲨ”立，可解出x的值。 𐟎œ†的切线与弦长切线方程：以P为直径的圆，其切线方程为x + y - (x₀ + y₀) = 0。弦长公式：过圆心且垂直于直径的弦长公式为2r，其中r为半径。 𐟌 圆的方程应用利用圆的方程可以解决许多实际问题，如求圆的面积、周长等。通过圆的方程与直线方程的联立，可以求出点到圆的最短距离。 𐟓š 圆的方程总结圆的方程是高中数学中的重要知识点，通过掌握圆的性质和方程推导方法，可以更好地理解和应用圆的方程。希望这份总结能帮助你在高考中取得好成绩！

𐟓直线与圆方程全解析𐟔 𐟓直线与圆的位置关系，你了解多少？ 1️⃣ 直线与圆的位置关系，简单来说，就三种： ✨想离：当圆心到直线的距离d大于半径r时，两者想离。 ✨相切：当d等于r时，直线与圆只有一个交点，这就是相切。 ✨相交：当d小于r时，直线与圆有两个交点，自然就是相交了。 2️⃣ 想知道它们具体的关系？联立直线与圆的方程吧！ 𐟔通过联立，你会得到一个一元二次方程。根据这个方程的判别式△=bⲭ4ac的值，就能判断出直线与圆的交点个数了。 ✨当△＞0时，方程有两组实数解，也就是两个交点，两者相交。 ✨当△=0时，方程只有一组实数解，即一个交点，两者相切。 ✨当△＜0时，方程没有实数解，两者自然就是相离的了。 3️⃣ 点P在圆上或圆外时，能作几条与圆相切的直线呢？ 𐟔这要看点P到圆心的距离与半径r的关系了。 ✨点P在圆上时，只能作一条相切直线。 ✨点P在圆外时，可以作两条相切直线。 ✨而点P在圆内时，则无法作出与圆相切的直线。 4️⃣ 当直线与圆相交时，两个交点之间的距离怎么求呢？ 𐟓公式来啦：｜PQ｜=2｜PR｜=2倍根号下（rⲭdⲯ𜉣€‚其中d是圆心到直线的距离哦！ 𐟎‰掌握这些知识点，你就能轻松应对直线与圆的方程问题了！加油哦！

高二数学制胜秘籍：8大绝招助你孩子期中考试脱颖而出！‌ 大家好，我是你们的老朋友——六维坐标系。今天，我们要聊的是一个让无数家长和学子头疼的话题——高二数学！特别是上学期的期中考试，简直是分化的“试金石”。别担心，我这里有一套独家秘籍，保证让你的孩子在数学战场上所向披靡！首先，让我们直击痛点：高二数学上学期，那些让人望而生畏的立体几何空间向量、直线与圆的方程、圆锥曲线……这些都是高考的“硬骨头”！但今天，我要告诉你，这些难题都有解，而且解法还相当高效！ 8大高二数学高效学习法：立体几何空间向量：结合高一的平面向量与立体几何知识，构建三维思维模型。想象一下，如果你能像导演一样在脑海中搭建出几何图形，那解题不就是小菜一碟吗？直线与圆的方程：学得扎实是王道。设点、设线、直曲联立、直线系、圆系、参数方程、双切线……这些概念要了然于胸，因为它们是解决圆锥曲线问题的钥匙。圆锥曲线：这是高二数学的重头戏，也是高考的压轴题。通过前面的知识积累，你会发现，圆锥曲线其实并没有那么可怕。系统学习：利用按课时录制的高二数学上学期同步提高专栏视频课程，从入门到精通，家长也能听懂学会。这样，你就可以在家里给孩子当“私教”了！考点例题练习：理论联系实际，多做题才能熟能生巧。本专栏配备的Word教师详解版讲义，就是你的最佳练习伙伴。建立错题本：把每次做错的题目都记录下来，分析错误原因，定期复习。这样做，可以让你的孩子避免重复犯错。定期模拟测试：模拟考试环境，让孩子适应考试节奏，提高应试能力。这样，到了真正的考场，孩子就能游刃有余。心态调整：学习是一场马拉松，保持积极的心态至关重要。鼓励孩子相信自己，相信努力会有回报。亲爱的家长们，感谢你们耐心阅读这篇文章。如果你觉得这些方法对你有所帮助，不妨一键三连（点赞、收藏、分享），让更多需要的家长和学子受益。记住，教育是一场接力赛，我们需要共同努力，才能让孩子跑得更快、更远！最后，我想说：高二数学并不难，难的是找到正确的方法和坚持下去的勇气。有了这套秘籍，相信你的孩子一定能在期中考试中取得优异的成绩！让我们一起为孩子的未来加油吧！#动态连更挑战#

高中数学解析几何：蒙日圆详解 𐟔 蒙日圆的基本知识椭圆上的蒙日圆：对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），其上互相垂直的两条切线的交点的轨迹方程为：$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$。这个圆被称为蒙日圆（外准圆）。双曲线上的蒙日圆：对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0, b > 0$），其上互相垂直的两条切线的交点在圆 $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ 上。抛物线上的蒙日圆：对于抛物线 $y = 2px$（$p > 0$），其蒙日圆方程为 $x^2 + y^2 = 4p^2$。圆上的蒙日圆：对于圆 $x^2 + y^2 = r^2$，其蒙日圆方程为 $x^2 + y^2 = 2r^2$。 𐟓 椭圆蒙日圆的证明设点P($2c_0, y_0$)，两个切点为A和B。若PA和PB中的一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则P点坐标为($\pm a, \pm b$)。若PA和PB两条直线斜率都存在，设过点P的直线方程为 $y - y_0 = k(x - 2c_0)$。联立椭圆方程和直线方程，整理得：$(b + ak)c + 2a(y_0 - k)c + a^2 - 2aky_0 - ab = 0$。由相切知，$A = 4a^2(0 - k) - 4(b + ak)(-2ak - ab) = 0$。整理得 $(a^2 - 2ak) + 2c_0y_0 + b^2 - 6 = 0$。显然，$k_PA$和$k_PB$是上式的两个根，且$k_PAk_PB = -1$。化简得：$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$（特殊情况也满足此方程）。因此，P的轨迹方程为 $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$。 𐟌𐠥…𘤾‹分析【题目1】在圆 $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2$（$r > 0$）上总存在点P，使得过点P能作椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的两条互相垂直的切线，则r的取值范围是？解：由题可得P在圆 $x^2 + y^2 = 4$ 上，又P在圆 $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2$ 上，则两圆有交点。其中两圆的圆心距为5，解得 $3 \leq r \leq 7$，选B。【题目2】已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），直线 $mx + y - 3m - 2 = 0$，若直线上存在点P，使过P总能作两条互相垂直的切线，则实数m的取值范围是？解：由题可得P在圆 $x^2 + y^2 = 4$ 上，又P在直线上，即直线与圆 $x^2 + y^2 = 4$ 有交点。解得 $-3m - 2 \leq 2$，即 $m \leq -1$ 或 $m \geq 0$，选D。【题目3】已知动点A在椭圆C：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）上，动点P在直线 $3x + 4y - 10 = 0$ 上，若 $\angle APB$ 恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围是？解：P在圆 $x^2 + y^2 = 1$ 外，即直线 $3x + 4y - 10 = 0$ 与圆 $x^2 + y^2 = 1$ 无交点。其中圆心到直线 $3x + 4y - 10 = 0$ 的距离为2，只需 $2 > \sqrt{a^2 + 1}$，解得 $1 < a < 3$。离心率 $e = \frac{c}{a}$，选C。

高中数学直线与圆知识点全解析 𐟓š 直线与圆是高中数学中的重要知识点，涵盖了多种题型和解题方法。以下是直线与圆的知识点总结，帮助你更好地理解和掌握。 1️⃣ 直线与圆的定义：直线：在平面上，所有点都满足一个固定方向的线。圆：在平面上，所有点到某一点的距离都相等的点的集合。 2️⃣ 直线与圆的位置关系：相交：直线与圆有两个交点。相切：直线与圆有一个交点。相离：直线与圆没有交点。 3️⃣ 圆的性质：半径：从圆心到圆上任意一点的距离。直径：通过圆心且两端都在圆上的线段。周长：圆的周长公式为2，其中r为半径。面积：圆的面积公式为ⲯ𜌥…𖤸�𘺥Š径。 4️⃣ 直线与圆的方程：直线方程：一般形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。圆方程：一般形式为(x - a)Ⲡ+ (y - b)Ⲡ= rⲯ𜌥…𖤸�, b)为圆心坐标，r为半径。 5️⃣ 直线与圆的解题方法：利用直线与圆的定义和性质，判断直线与圆的位置关系。通过联立直线和圆的方程，求解交点坐标。利用圆的性质和公式，计算圆的半径、直径、周长和面积。 𐟒ᠩ€š过以上知识点总结，你可以更好地掌握直线与圆的相关概念和解题方法，为高中数学的学习打下坚实的基础。

中职数学笔记：圆与椭圆方程的奥秘 𐟓š 第三章：圆曲线方程圆的定义：给定平面上的两个定点F1和F2，动点M到这两个定点的距离和为定值，那么M的轨迹叫做圆。这个定值叫做圆的半径。标准方程：如果圆的半径为r，圆心在原点，那么圆的方程可以写成$x^2 + y^2 = r^2$。椭圆的定义：椭圆是平面内到两个定点F1和F2的距离之和等于常数（大于两定点间距离）的点的轨迹。标准方程：如果椭圆的半长轴为a，半短轴为b，且焦点在x轴上，那么椭圆的方程可以写成$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。 𐟓– 圆与直线的位置关系相切：直线与圆只有一个公共点，叫做相切。相离：直线与圆没有公共点，叫做相离。相交：直线与圆有两个公共点，叫做相交。 𐟔 圆的性质对称性：圆关于其中心对称，关于x轴和y轴也对称。焦点距离：椭圆的两焦点到任意一点的距离之和等于常数。 𐟓 圆的方程与求解已知圆的半径和圆心坐标，可以直接写出圆的方程。已知椭圆的长轴长和短轴长，可以写出椭圆的方程。已知圆的方程和直线方程，可以求出直线与圆的交点。 𐟓 椭圆与直线的关系椭圆与直线的位置关系：相切、相离、相交。椭圆与直线的交点：通过联立椭圆和直线的方程求解。 𐟔 椭圆的性质离心率的定义：椭圆的离心率等于长轴长与短轴长的比值。离心率的应用：离心率的计算可以帮助我们更好地理解椭圆的性质。 𐟓 椭圆的方程与求解已知椭圆的长轴长和短轴长，可以写出椭圆的方程。已知椭圆的方程和直线方程，可以求出直线与椭圆的交点。 𐟓 圆的性质与求解技巧利用点到焦点的距离公式求解圆上的点。利用椭圆的标准方程和性质求解椭圆的焦点距离。利用三角函数和勾股定理求解圆和椭圆的相关问题。

圆的切线方程推导：两种方法详解圆的切线方程可以通过两种方法推导出来，下面我们来详细讲解。方法一：公共弦法 𐟓 已知圆C的方程为 xⲠ+ yⲠ= 2，点M(x0, y0)在圆外。过点M作圆的切线PA和PB，其中A和B为切点。我们需要求出切点弦AB所在的直线方程。设圆C的方程为 xⲠ+ yⲠ= 2。由于PA和PB是圆的切线，所以P、A、C、B四点共圆，且CP为直径。设这个圆的方程为 xⲠ+ yⲠ= rⲣ€‚ 将圆C的方程化为一般式：xⲠ+ yⲠ- 2 = 0。线段AB为圆C和圆C的公共弦。联立两圆方程作差，得到切点弦AB所在的直线方程为 x + y = 2。方法二：设而不求法 𐟧同样已知圆C的方程为 xⲠ+ yⲠ= 2，点M(x0, y0)在圆外。过点M作圆的切线PA和PB，其中A和B为切点。我们需要求出切点弦AB所在的直线方程。设A(1, 91)，B(x2, 92)。由命题1得PA所在直线方程为 x1 + 91y = 2，PB所在直线方程为 x2 + 92y = 2。因为PEPA，PEPB，所以1Ⲡ+ 31 = 2，2Ⲡ+ 92y = 2。即点A和B的坐标都满足关于C和y的二元一次方程 x0x + y0y = rⲣ€‚ 由于过两点的直线唯一确定，所以切点弦AB所在的直线方程即为 x0x + y0y = 2。总结 𐟓 无论是通过公共弦法还是设而不求法，我们都能推导出圆的切点弦方程为 x0x + y0y = 2。这两种方法各有特色，前者通过联立方程作差得到结果，后者则通过设定坐标系和已知条件来推导。希望这两种方法能帮助你更好地理解圆的切线方程。

高中数学人教版A 选择性必修一知识点总结 𐟓š 空间向量与立体几何加法：a+b=(a+b1,a+b2,as+bs) 减法：a-b=(aj-b,a-b,as-bs) 数量积：ab=a,b,+ab+ayb 𐟓 直线和圆直线方程：y=kx+b（点斜式），y=kx+b（斜截式），y=kx+b（两点式），y=kx+b（截距式）圆方程：(x-a)ⲫ(y-b)ⲽrⲯ𜈦 ‡准式） 𐟓– 圆锥曲线椭圆：标准方程(a>0,b>0)或(a>0,6>0) 双曲线：标准方程(a>0,b>0)或(a>0,6>0) 抛物线：标准方程yⲽ2px（p>0） 𐟔 几何性质椭圆：离心率e=sin a+sin b，焦点弦长IPF1=1+cos，以焦点弦为直径的圆与准线相切双曲线：离心率e=1+Tsin a-sin b，焦点弦长IPF1=1+cos，以焦点弦为直径的圆与准线相切抛物线：焦点弦长IPQ1=x,+x+p，以焦点弦为直径的圆与准线相切 𐟓ˆ 解析法联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为关于x（或y）的一元二次方程后，由根与系数的关系求解。 𐟓Š 点差法设A(x1,y1),B(x2,y2)为圆锥曲线上不同的两点，且x1x2+y1y2=0，M(x,y)是AB的中点，O为坐标原点。若该圆锥曲线方程为yⲽ2px（p>0），则k=p/x；若该圆锥曲线为椭圆，则k=y/x；若该圆锥曲线为双曲线，则k=-y/x。

《高二数学期中突破秘籍！家长必看的8大学习法》各位家长朋友们，我是你们的老朋友六维坐标系。今天咱们来聊聊高二孩子的数学学习，大家都知道，高二可是个分化期呢。孩子在高二数学上要是出了问题，可把家长们急得不行。今天我就给大家带来一些具体的学习方法，保证让您心里有底。咱先说这高二数学上学期期中考试，孩子想突破可没那么容易。不过别怕，现在有个高二数学上学期同步提高专栏视频课程，这课程可厉害啦，从入门到精通，咱们家长都能听懂学会。学会了就能帮孩子自学，咱都上过学，课程好不好，一听就知道。那些懂教育的家长可一定要好好看看。有人就问了，高二数学到底咋学才高效呢？其实用这个同步提高课程冲一冲就挺不错的。我这儿还有8个高二数学的高效学习方法呢。先看看这课程的目录，立体几何空间向量、直线与圆的方程、圆锥曲线，这些可都是难点。高中数学的几何部分在高考里那可是难点中的难点，高考要考两道解答题呢。就像选修一里面，高二的空间向量与立体几何，这可得和高一的平面向量与立体几何两章结合起来学。直线与圆这章可得学扎实了，像设点、设线、直曲联立、直线系、圆系、参数方程、双切线这些知识点，孩子要是熟悉了，对圆锥曲线这章的学习可太有利了。这个专栏包含了高二数学上学期选择性必修一的全部内容，预计能更新600集呢。这里面有考点、例题、练习，还配备了Word教师详解版讲义，就是为了方便咱们家长自学用的。家长们啊，咱们为了孩子的学习可都操碎了心。孩子在高二这个关键时期，数学要是能学好，那可就太重要了。希望我今天说的这些能对您有帮助。感谢您耐心观看，要是觉得有用，还请您一键三连，把这个内容推荐给其他有需要的家长朋友们，咱们一起为孩子的学习加油！视频课程都在主页菜单专栏里面，直接使用就可以啦，祝大家学习愉快！#动态连更挑战#

椭圆的几何性质详解（二）嘿，大家好！今天我们继续聊聊椭圆的那些简单几何性质。上次我们说了椭圆的定义和一些基本性质，这次我们来看看更多有趣的东西。焦点与椭圆上的点到原点的距离 𐟓 首先，我们来看看椭圆上的点到原点的距离。对于椭圆上的任意一点P，到原点的距离的平方可以表示为：|OP|^2 = x^2 + y^2。这个公式是不是很熟悉？其实它就是椭圆的方程的一部分。求直线方程 𐟓 接下来，我们来看看如何求过椭圆上两点的直线方程。假设椭圆上的两点A和B的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，那么通过这两点的直线方程可以通过以下方式求得：将椭圆的方程y^2 = a^2(1 - x^2/b^2)中的x和y分别替换为x1, y1和x2, y2，然后相减，得到一个关于x的方程，解这个方程就能得到直线的斜率。然后再用点斜式求出直线的方程。椭圆的最值问题 𐟓ˆ 椭圆的最值问题也是很有趣的。比如说，当椭圆上的点P从长轴向短轴移动时，P到两焦点的距离之和会逐渐增大，直到P到达短轴的端点时，这个距离之和达到最大值。这个最大值其实就是椭圆的周长。而且，当P在长轴端点时，距离最小，短轴端点时距离最大。椭圆与直线的交点 𐟔 最后，我们来看看椭圆与直线的交点问题。这个问题有点复杂，但也很有趣。假设有一条直线y = mx + c与椭圆y^2 = a^2(1 - x^2/b^2)相交，那么我们需要联立这两个方程，消去y，得到一个关于x的二次方程。然后通过判别式来判断这个方程有几个解，从而确定直线与椭圆的交点个数。经典例题 𐟓 最后，我们来看看几个经典例题。比如说，已知椭圆C：y^2 = 4x，焦点F1和F2分别是(-1, 0)和(1, 0)，那么当A(0, 4)时，AP1 + AP2的最小值是多少？这个问题其实可以通过一些简单的推导来解决，关键是要用到余弦定理和一些基本的几何性质。好了，今天的课就到这里。希望大家能从中学到一些有用的东西！下次我们再来聊聊椭圆的更多性质和问题。记得关注哦！𐟓š