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设f x最新消息报道_设fx在[0,1]连续,在(0,1)可导(2024年12月热点汇总)

内容来源：网络红人排行榜所属栏目：热点更新日期：2024-12-01

设f x

定积分及其应用：从基础到进阶 𐟓š 𐟓– 题型五：积分不等式 𐟓Œ 柯西-施瓦茨不等式设 f(x) 和 g(x) 是定义在 [a, b] 上的函数，证明： (∫ f(x)g(x) dx)^2 ≤ (∫ f(x)^2 dx) * (∫ g(x)^2 dx) 𐟓Œ 柯夫斯基不等式设 f(x) 和 g(x) 是定义在 [a, b] 上的函数，证明： ∫ f(x)g(x) dx ≤ ∫ f(x)^2 dx + ∫ g(x)^2 dx 𐟓Œ 证明大小关系设 f(x) 和 g(x) 是定义在 [a, b] 上的函数，比较 f(x) 和 g(x) 的大小。 𐟓– 题型六：反常积分 𐟓Œ 计算反常积分例如：计算 ∫ (x^2 + 1) / (x^2 + x + 1) dx 𐟓Œ 判断收敛性设 f(x) 在 [a, b] 上连续，判断 ∫ f(x) dx 是否收敛。 𐟓Œ 绝对收敛与条件收敛证明：如果 ∫ f(x) dx 绝对收敛，那么 ∫ g(x) dx 也绝对收敛。 𐟓– 题型七：定积分的应用 𐟓Œ 计算面积例如：求由 y = x^2 和 y = x 所围成的图形的面积。 𐟓Œ 计算体积例如：求旋转体 V = ∫ ^2 dx 的体积。 𐟓Œ 计算长度例如：求曲线 y = sinx 在 [0,  上的弧长。 𐟓Œ 压力计算例如：计算一个横放着的圆柱形水桶内水的压力。 𐟓Œ 引力计算例如：计算一个杆对单位质量的吸引力。这些题型涵盖了定积分的基础应用和进阶技巧，通过练习这些题目，你可以更好地掌握定积分的本质和应用。

汤家凤三套卷第一套第一题解析同学们，今天我们来聊聊汤家凤老师的三套卷中的第一套第一题。题目是这样的：设函数f(x) = arctan[x + 1]，其中tan[x + 1]是tan的绝对值形式。我们需要判断f(x)在哪些点上有间断点。首先，让我们回顾一下arctan函数的基本性质。arctan函数在[-2, 2]区间内是连续的，但在这一点上会有一个跳跃间断点。所以，对于f(x) = arctan[x + 1]，我们需要注意x + 1的值是否在这个区间内。接下来，我们来看一下选项： A. f(x)有一个可去间断点，一个跳跃间断点，一个第二类间断点。 B. f(x)有两个可去间断点，一个第二类间断点。 C. f(x)有两个跳跃间断点，一个第二类间断点。 D. f(x)有一个跳跃间断点，两个第二类间断点。通过分析，我们可以发现，当x + 1 = 2时，f(x)会有一个跳跃间断点。而当x + 1 = -2时，f(x)会有一个第二类间断点。因此，答案是D选项：f(x)有一个跳跃间断点，两个第二类间断点。希望这个解析能帮助大家更好地理解这道题目！如果有任何疑问，欢迎在评论区留言哦！𐟘Š

2024年浙江省高中数学竞赛真题解析 𐟓 一、填空题（每小题8分，共计96分）已知集合A = {x | 2x - 1 > 0}，求实数x的取值范围。设函数f: {1,2,3} → {2,3,4}满足f(f(x) - 1) = f(x)，求这样的函数有多少个。已知函数g(x) = sin'x + 1，求g(x)的最大值与最小值之积。已知数列{x}满足：xₙ+₁ = xₙ + 1，且x₁ = 1，求通项xₙ。已知四面体A-BCD的外接球半径为1，BC = 1，BDC = 60Ⱟ𜌦𑂧ƒ心到平面BDC的距离。已知复数z满足2z^4 = (z - 1)^10 = 1，求z的值。已知平面上单位向量a与单位向量b垂直，且存在0 < t < 1，使得向量a + tb与向量a - tb垂直，求a + tb - 2t的最小值。若对所有大于2024的正整数n，成立n^2024 = ac，求a + 24的值。设实数a, b, c ∈ (0, 2)，且b ≥ 3a或a + b ≤ 1，求max(b - a, c - b, 4 - 2c)的最小值。在平面直角坐标系xoy上，椭圆E的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，F为E的左焦点；圆C的方程为(x - a)^2 + (-b)^2 = r^2，A为C的圆心。直线l与椭圆E和圆C相切于同一点P(3, 1)，求当OA^2 + AF最大时，实数r的值。设n为正整数，且满足1 + 2 + ... + n = k(k + 1)/2，求n的值。设整数n ≥ 4，从编号1, 2, ... , n的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号。若1, 2均出现或3, 4均出现就停止抽取，求抽取卡片数的数学期望。 𐟓– 二、解答题（13题满分14分，14、15题满分各20分，合计54分）正实数k₁, k₂满足k₁ < k₂，实数c₁, c₂满足c₁ = -k₁, c₂ = k₂ - c₁ = 2(k₁ - k₂)。设函数f(x) = k₁x - c₁，g(x) = k₂x - c₂。当k₁, k₂满足什么条件时，存在A > 0使得定义在[0, A]上的函数g(x) + f(A - x)恰在两点处达到最小值？设集合S = {1, 2, ..., 997, 998}，集合S的k个499元子集A₁, A₂, ..., A满足：对S中任一二元子集B，均存在i ∈ (1, 2, ..., k)使得B ⊆ A。求k的最小值。设f(x), g(x)均为整系数多项式，且deg f(x) > deg g(x)。若对无穷多个素数p，pf(x) + g(x)存在有理根，证明：f(x)必存在有理根。

变限积分函数求导法则详解变限积分函数的求导是高等数学中的重要内容，以下是各类变限积分函数的求导法则： 𐟓 变限积分函数求导法则设函数F(x) = ∫f(t)dt，其中t从a到x，则F'(x) = f(x)。 𐟓Œ 具体求导步骤首先，确定积分上限和下限。然后，应用积分求导法则，即F'(x) = f(x)。最后，进行必要的简化。 𐟓‘ 示例设函数F(x, y) = ∫sin t dt，求∂F/∂x。解：由变上限积分函数的求导法则得∂F/∂x = cos(xy) / (1 + xy)。 𐟓š 深入理解变限积分函数的求导需要理解积分上限和下限的变化对函数的影响。通过具体的例子和练习，可以更好地掌握这一法则。通过以上内容，你可以更好地理解和掌握变限积分函数的求导方法，为解决相关问题打下基础。

北京十四中高一数学期中考试试卷及答案 𐟓„ 2024-2025北京十四中高一（上）数学期中试卷 𐟓ˆ 21. (本小题13分) 已知函数 f(x) = x^2 + 1 (1) 判断函数的奇偶性，并加以证明； (2) 用定义证明 f(x) 在 (0,1) 上是减函数； (3) 若函数 y = f(x) - m 在 [1,3] 上有两个零点，求 m 的范围。（直接写出答案） 𐟏 22. (本小题11分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用 m（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位：cm）满足关系：m = 3x + 5。若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设 y 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。 (1) 求 k 的值及 y 关于 x 的表达式； (2) 隔热层修建多厚时，总费用 y 达到最小，并求出最小值。 𐟓‰ 23. (本小题14分) 设函数 f(x) 是定义在 R 上的函数，对任意的实数 x, y 都有 f(x + y) = f(x)f(y)，且当 x > 0 时，f(x) 的取值范围是 (0,1)。 (1) 求证：存在实数 m 使得 f(m) = 1； (2) 当 x < 0 时，求 f(x) 的取值范围； (3) 判断函数 f(x) 的单调性，并予以证明。

保号性在数学中的重要性 𐟔 保号性是数学分析中的一个重要概念，尤其在讨论函数的单调性和极值时非常有用。这个概念可以通过极限的定义来理解，即如果函数在某点的极限存在且不为零，那么在该点的邻域内，函数的行为将保持与极限相同的符号。 𐟓– 例如，设f(x)是一个具有二阶连续导数的函数，且f(0)=0。如果lim[x->0] f'(x) > 0，那么根据保号性，在x=0的某去心邻域内，f'(x)必须大于零。这意味着在该邻域内，函数f(x)是单调递增的。 𐟓Œ 进一步地，如果f(0)不是f(x)的极值点，那么在x=0的邻域内，f(x)将既不达到最大值也不达到最小值。同时，点(0, f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点。 𐟎🝥𗦀秚„应用不仅限于单调性和极值的判断，它还可以帮助我们理解函数的整体行为和性质。通过利用保号性，我们可以更深入地探索函数的内在结构，从而在数学分析和应用中取得更好的理解。

杨柳青一中2025届高三月考数学题解析大家好，今天我们来看看杨柳青一中2025届高三第一次月考的数学题目。这次的题目难度适中，非常适合大家进行一轮复习的自测。话不多说，直接上题！等差数列和等比数列的问题 𐟓ˆ 已知数列{a}是等差数列，前n项和为S，而数列{b}是首项为2的等比数列，公比大于0。已知b+b=12，b=a-2a1，Su=11b。求a和b的通项公式。若数列{c}满足c=a+b，求数列{c}的前n项和T。证明：b+1b-1=2。函数问题 𐟓Š 设函数f(x)=x+lnx。求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程。设函数g(x)=f(x)-x，求g(x)的单调区间。若g(x)存在两个极值点x1和x2，证明x1+x2=2。这些问题看似简单，但需要我们细心解答，尤其是对于等差数列和等比数列的通项公式，以及函数单调性的判断，都需要我们熟练掌握。希望大家能够认真对待，做好复习。好了，今天的数学题目就分享到这里，大家可以自行解答，如果有不明白的地方，欢迎留言讨论！𐟓

积分不等式多项式拟合法详解 𐟓š 这道题目是积分不等式证明中的经典例题，几乎所有的考研竞赛数学讲义都会提到。常见的解题思路包括多项式拟合法和泰勒展开法。这里我们采用多项式拟合法进行解答。 𐟔 题目设定：设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上具有二阶导数，且 f(a) = f(b) = 0。 𐟓 解题步骤：构造多项式拟合函数：为了证明积分不等式，我们首先需要构造一个多项式拟合函数。这个多项式需要满足特定的条件，即其在区间 [a, b] 上的积分等于 f(x) 在该区间上的积分。利用分部积分法：通过分部积分法，我们可以将复杂的积分问题转化为简单的代数问题。这样，我们就可以更容易地找到满足条件的多项式。结合题目条件：利用题目中给出的 f(a) = f(b) = 0 的条件，我们可以进一步简化问题。通过构造的多项式，我们可以得到一系列等式，从而证明积分不等式。 𐟓š 这道题目不仅考察了积分不等式的证明方法，还展示了多项式拟合法的应用。通过这个例子，我们可以看到数学中的各种方法是如何相互关联和应用的。

广州育才数学密考，解析来啦！ 𐟓… 2024年11月23日，广州育才中学高中招生数学部分及答案揭晓！ 𐟔 一、填空题（共1小题）题目：在直角三角形ABC中，LABC=90Ⱟ𜌁D=2，BD=4，连接CD，求CD的最大值。解析：根据直角三角形的性质，AD和BD是直角边，通过勾股定理可以求得CD的最大值。 𐟓 二、解答题（共3小题）题目1：直线y=2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点E，点B(a,6)在直线上，口ABCD的顶点D在x轴上，反比例函数y=k/x（x>0）的图象经过点B、C(m,2)。（1）求a、k的值和点C的坐标；（2）求口ABCD的面积。解析：通过直线与反比例函数的交点，可以求得a、k的值和点C的坐标，进而计算ABCD的面积。题目2：阅读感悟：已知方程xⲫ2x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=y/2，代入已知方程得yⲫ2y-1=0，化简得2yⲭ4y+2=0，故所求方程为2yⲭ4y+2=0。题目3：已知迭代函数f(x)=xⲫ1,x≥1，求f(x)与正方形ABCD的交点个数。解析：通过迭代函数的性质，分析f(x)与正方形ABCD的交点情况，得出交点个数。 𐟒ᠧ‚𙨯„：这些题目不仅考察了数学基础知识，还涉及到了函数模型的综合应用和新定义的问题，难度较高，需要学生具备扎实的数学基础和良好的解题能力。

最优化方法：最速下降法与牛顿法详解 ### 最速下降法 𐟚€ 最速下降法是一种利用负梯度方向作为下降方向的优化方法。它的基本思想是在每一步迭代中，沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，直到达到最小值点。算法步骤如下：给定初始点 $x_0$ 和精度 $\epsilon$，设置迭代次数 $k = 0$。计算梯度 $\nabla f(x_k)$，并计算步长 $d_k = -\nabla f(x_k)$。如果 $|\nabla f(x_k)| < \epsilon$，则停止迭代，输出 $x_k$。否则，用一维精确搜索方法确定步长 $\alpha_k$。更新 $x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k$，并继续迭代。例子：假设 $f(x) = x^2$，初始点 $x_0 = 2$，精度 $\epsilon = 0.01$。计算梯度 $\nabla f(x_0) = 2x$，得到 $d_0 = -2$。进行一维精确搜索，得到 $\alpha_0 = 1$。更新 $x_1 = x_0 + \alpha_0 d_0 = 2 - 2 = 0$。继续迭代，直到达到精度要求。牛顿法 𐟐‚ 牛顿法是一种利用二次函数近似目标函数，并在每一步迭代中寻找极小值点的方法。它的基本思想是在当前迭代点处，用二次函数近似目标函数，并计算该二次函数的极小值点作为下一步迭代点。算法步骤如下：给定初始点 $x_0$ 和精度 $\epsilon$，设置迭代次数 $k = 0$。计算梯度 $\nabla f(x_k)$ 和 Hessian 矩阵 $G_k$。计算搜索方向 $d_k = -G_k^{-1} \nabla f(x_k)$。如果 $|\nabla f(x_k)| < \epsilon$，则停止迭代，输出 $x_k$。否则，用一维精确搜索方法确定步长 $\alpha_k$。更新 $x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k$，并继续迭代。证明：牛顿法是下降方向（证明略）。牛顿迭代法的迭代矩阵 $G_k$ 是对称正定矩阵，因此 $G_k d_k$ 是下降方向。例子：假设 $f(x) = x^2$，初始点 $x_0 = 2$，精度 $\epsilon = 0.01$。计算梯度 $\nabla f(x_0) = 2x$ 和 Hessian 矩阵 $G_0 = 2$。计算搜索方向 $d_0 = -G_0^{-1} \nabla f(x_0) = -1$。进行一维精确搜索，得到 $\alpha_0 = 1$。更新 $x_1 = x_0 + \alpha_0 d_0 = 2 - 1 = 1$。继续迭代，直到达到精度要求。总结最速下降法和牛顿法都是求解最优化问题的有效方法。最速下降法简单直观，但收敛速度较慢；牛顿法则利用了更多的信息，收敛速度更快。在实际应用中，可以根据问题的特点和需求选择合适的方法。

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